Exercícios avançados de divisibilidade
1. Determinar todos os valores possíveis paa os algarismos \(x, \) \(y, \) \(z, \) e \(t \) de modo que os números abaixo representados na base 10 tenham a propriedade mencionada.
a) 3x90586y é divisível por 60.
b) 72z41t é divisível por 99.
2. Calcule o resto da divisão de \(2^{237}\) por 13.
3. Determine o algarismo das unidades do número \(7^ {(7^{1000}) }\)
4. O número \( 2^9 \cdot 3\) é divisível por 6?
5. É verdade que, se um número natural for divisível por 4 e por 6, então ele tem que ser divisível por 24?
6. O número A não é divisível por 3. É possível que o número 2A seja divisível por 3?
7. O número 5A é divisível por 3. É verdade que A tem que ser divisível por 3?
8. Prove que o produto de três números naturais consecutivos quaisquer é divisível por 6.
9. Prove que o produto de cinco números naturais consecutivos quaisquer é:
a) divisível por 30;
b) divisível por 120.
10. Prove que todo número com um número ímpar de divisores é um quadrado perfeito.
Respostas
- a) Decompondo 60 em fatores primos, temos
Daí, concluímos que o número precisa ser divisível por 4. Isso ocorre, se e somente se 6y for divisível por 4. Ou seja,
\(60 + y = 4k\) \( y \in \{0, 4, 8 \}\)Para que este número seja divisível por 5, precisamos que y = 0 ou y = 5.
Logo, y = 0.
O número é divisível por 3 se, e somente se
\( 3 + x + 9 + 0 + 5 + 8 + 6 + y \) for divisível por 3. Isto é
\( 31 + x + y = 3q \)Como y = 0, temos
\( x \in \{2, 5, 8\} \)Portanto, os números buscados são 32905860, 35905860 ou 38905860.
b) \( 99 = 3 \cdot 3 \cdot 11 \)
72z41t é divisível por 9 se, e somente se
7 + 2 + z + 4 + 1 + t é divisível por 9. Logo, t + z + 14 é divisível por 9.
\( t + z + 14 = 9q, q \in \mathbb{Z}\).
Logo \( t + z = 4 \) ou \(t + z = 13 \).
72z41t é divisível por 11 se, e somente se
\(t – 1 + 4 – z + 2 – 7 \) é divisível por 11.
Assim,
\( t – z – 2 = 11 q, q \in \mathbb{Z}\)portanto, \( t – z = 2\) ou \( t – z = -9.\)
Temos então os seguintes casos.
1° caso: \(
\[ \left\{ \begin{array}{ll} t + z &= 4 \\ t – z &= 2 \end{array} \right. \]
\)
Solução: t = 3 e z = 1.
Resposta: 721413
2° caso: \(
\[ \left\{ \begin{array}{ll} t + z &= 4 \\ t – z &= -9 \end{array} \right. \]
\)
Solução: t = -5/2
Resposta: (Sem solução inteira)
3° caso: \(
\[ \left\{ \begin{array}{ll} t + z &= 13 \\ t – z &= 2 \end{array} \right. \]
\)
Solução: t = 15/2
Resposta: (Sem solução inteira)
4° caso: \(
\[ \left\{ \begin{array}{ll} t + z &= 13 \\ t – z &= -9 \end{array} \right. \]
\)
Solução: t = 2 e z = 11
Resposta: Não convém.
Em breve, trarei aqui a solução das questões 4 a 10.