14 Exercícios de números complexos

Verifique que as seguintes propriedades valem para todo \( z, w \in \mathbb{C} \).
1. \(\bar{\bar{z}} = z\)
2. \(z + \bar{z} = 2 re(z) \) e \(z – \bar{z} = 2i \cdot im(z)\)
3. \(|z| = |\bar{z}| \)
4. \(\overline{z+w} = \bar{z} +\bar{w}\)
5. \(|z w|^2 = |z|^2 + |w|^2 + 2 re(z \cdot \overline{w})\)
6. \(|re(z)| \leq |z|\) , \( |im(z)| \leq |z| \)
7. \(|z + w| \leq |z| + |w| \)
8. \(|z \cdot w| = |z|\cdot |w| \)
9. \(||z| – |w|| \leq |z + w| \)
10. \(\overline{z^-1} = \overline{z} ^-1\)
Sejam \(\), \(\)e \(\).Calcule o valor de:
1. \(\overline{\overline{z}}\)
2. \(z + \overline{z}\)
3. \(|\overline{z}|\)
4. \(\overline{z + w}\)